[독후감] 미적분의 쓸모

1. 미적분의 쓸모

 

아무래도 예비 고3이다보니 최근 독서한 것이라곤 과목 독서록으로 읽는 책이 전부다..ㅎ 요즘 독서를 너무 안해서 조금 부끄럽기도 하지만, 이번에 미적분 과목 독서록으로 「미적분의 쓸모」라는 책을 읽었다. 원래부터 읽으려고 벼르고(?) 있던 책이어서 굉장히 재밌게 읽었다. 읽은 시간은.. 1시간에서 2시간 정도? 오래 안 걸렸다. 교양 수학책+200쪽 내외로 굉장히 편하게 읽었다. 물론! 미적분 책인만큼 미적분 교과에 대한 최소한의 이해가 필요하다. 

 

목차는 다음과 같다. 해시태그는 내가 생각한 각 목차의 핵심 주제 및 인상 깊었던 부분이다 

 

I. 혁명의 시간, 순간 속도를 계산하라: 가속도 #로켓 #과속방지카메라 

II. 인공지능이 빅데이터를 학습하는 방법: 최적화 #극소극대 #인공지능 #경사하강법

III. 작은 움직임을 모으면 변화의 축이 보인다: 기하학 #코로나_확진자_발생률 #CT 

IV. 디즈니 영화가 전 세계를 사로잡는 법: 나비에-스토크스 유동 방정식 #미분방정식 #N-S방정식 #푸리에변환

V. 우리는 어떤 미래를 향해 나아가고 있는가?: 미적분의 예측하는 힘 #경제학 #근사계산법

 

가장 인상 깊게 읽었던 부분은 포스트잇이 가장 많이 붙었던 V였다. 이외에 IV 또한 언니가 미대 나오기도 했고, 평소 영상편집에도 관심이 많아서 재밌게 읽었고, II 도 평소에 관심 있었던 딥러닝 관련 내용이어서 재밌게 읽었다. V는 최근 EBS 위대한 수업에서 폴 크루그먼의 경제학 강의를 듣기도 했고... 사실 2022 이감 사설 모의고사 파이널 시즌6에서 나온 지문 내용이랑 너무 밀접해서 놀랐던 기억이 있다. 이것말고도 전체적으로 흥미로운 내용이 많아서 미적분 교양서적으로 추천한다. 

 

그리고 작가가 유머러스해서 정말 읽기 좋았다. V 단원(?) 184페이지에 주식 관련 얘기를 하며 다음과 같이 얘기하는데, 정말 마스크 뒤로 헛웃음을 지을 수밖에 없었다. 진짜 웃겼다!

 

미분의 시간 간격을 수학책에서 배운 대로 극한으로 보내면서 극초단타를 하는 경우도 있다고 하는데 증권매매 수수료나 버는지 모르겠다. (p.184)

 

......생각해보니 18살에 이런 내용 보면서 진심으로 재밌어해도 되는건가? 싶기도 하다...

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2. 인상 깊었던 부분과 느낀 점

 

II. 인공지능이 빅데이터를 학습하는 방법

#극소극대 #인공지능 #경사하강법

 

이 단원은 인공지능에 대한 내용을 주로 담고있다. 여기서 어떻게 미적분이 사용되지 하는 의문점을 안고 읽은 단원이었는데, 읽다보니 와.. 이렇게도 쓰이네 하는 생각이 들었다. 가장 인상 깊게 읽은 부분은 경사하강법이었는데, 이를 이해하기 위해선 먼저 극대와 극소가 실생활에서 언제 사용되는 지에 대한 사고가 필요하다. 

 

수학 문제집을 풀다보면 극대와 극소에 집착하는 평가원의 심보를 엿볼 수 있다. 당연하다. 중요하니까. 이런 극대와 극소가 중요한 이유는 뭘까? 지극히 당연한 이유로, 현실에서 많이 적용되기 때문이다.

 

인공지능이 예측한 결과와 실제 결과 사이의 오차를 손실함수 loss function 또는 비용함수 cost function 이라고 하는데, 책에 적힌 바에 따르면 기계학습이란 결국 손실함수를 최소화하는 작업이다. 손실함수를 목적함수로 하는 극솟값 문제라는 것이다.(p.68)

 

그러면 극소를 구하면 끝나겠군! 하는 생각이 들지만 세상이 그렇게 간단하지가 않다. 왜, 물리학에서도 배운 이론을 적용하려면 결국 대학교 과정까지 거쳐야하지 않은가. 현실에서 우리가 만나는 함수들은 대체로 매개변수가 여럿인 다변수 문제, 그리고 비선형적인 문제가 대부분이다. 더군다가 인공지능의 경우 손실함수가 함수 형태로 주어지는 것이 아니라 수많은 데이터값을 입력하고 일일이 미분하면서 극값을 찾아야하기 때문에 계산량이 너무 많다. 

 

이를 해결하기 위해 손실함수를 최소화하는 경사하강법 stochastic gradient descent 가 이용된다. 경사하강법이란 경사가 진 방향으로 한 발 한 발 내디디며 극소점을 찾아가는 방법인데, 함수의 기울기(경사)를 구하고 경사의 절댓값이 낮은 쪽으로 이동시켜 극값에 이를 때까지 반복시키는 것이다. 앞서 말했듯이 다변수 문제가 많고, 인공지능의 경우 당연히 다변수이기 때문에 그래디언트 벡터를 활용한다. 그래디언트 벡터란 다차원적인 기울기를 의미한다.(p.78-79)

 

따로 찾아본 링크(클릭시 연결)에서는 경사 하강법을 학습률과 손실함수의 순간기울기(gradient)를 이용하여 가중치(weight)를 업데이트하는 방법이라고 정의했다. 여기서 가중치란 인공신경망에서 신경세포의 역할을 하는 노드 사이 신호의 연결 강도를 의미한다. 

 

참고로 앞서 언급했던 '비선형적'이라는 말은 선형의 반대다. 선형은 가산성과 비례성을 갖는 것을 말한다. 가산성은 합산한 것에 작용한 결과가 작용한 결과를 합산한 것과 같다는 의미이고, 비례성이란 상수를 곱한 값에 작용한 결과는 작용한 결과에 상수를 곱한 것과 같다는 의미이다.(p.99) 실제로 우리가 고등 교육과정에서 배우는 모든 함수는 선형적이며, 푸리에 변환, 라플라스 변환을 비롯한 각종 수학적 변환들도 모두 선형 연산자다. 

 

사실 이 책을 읽으며 가장 크게 와닿은 것은 인공지능이다. 그런 인공지능의 원리를 교양 서적 수준에서 잘 설명해주고 있어 좋았고, 무엇보다 미적분과 연계하여 경사하강법을 제시한 것이 좋았다. 찾아보니 경사하강법은 회귀분석과도 비교된다고 하는데...(자세히 말하면 경사하강법은 딥러닝에 쓰이고 회귀분석과 딥러닝이 비교 대조되는 것이다.) 사실 1학년 탐구 프로그램에서 회귀분석을 하다가 때려친 기억이 있다. 확률과 통계 독서록도 써야할 겸 회귀분석에 대한 책을 읽어보는 것도 좋을 듯 싶다. 

 

III. 작은 움직임을 모으면 변화의 축이 보인다

#코로나_확진자_발생률 #CT 

 

이 단원에서 인상 깊었던 것은 코로나19에 관하여 일일 확진자와 누적 확진자의 차이를 미적분으로 해석한 것과 CT의 원리를 설명해준 것이었다. 그런데 코로나19에 관한 내용을 미적분과 연계했다고 하기에도 조금 무안한 것이, 일일 확진자가 미분값 즉 증가 속도이며 누적 확진자는 일일 증가분을 적분한 값이라는 것을 천명한 것에 불과하다. 따라서 개인적으로 제일 집중하면서 읽었던 부분은 CT 파트다. 

 

CT는 단순히 말하자면 2차원 이미지를 적분한 것이다. 그런데 2차원 이미지로부터 거꾸로 3차원 정보를 수학적으로 계산하는 것은 굉장히 어렵다. 3차원에 사는 우리가 4차원이라는 개념을 이해하기 쉽지 않은 것처러 말이다. 여기서 라돈 역변환이 사용되는데, 솔직히 말해서.. 이해 못했다. 

 

관련 내용을 찾아본 결과 아래 링크가 자세히 서술되어 있는 것 같다. 나중에 보고서 같은 거 제출해야 하면 라돈 역변환/변환 관해서 서술하는 것도 좋을 듯 싶다. 이번엔 이런 게 있구나~ 정도로 이해하는 선에서 그쳤다. 

 

조금은 느리게 살자: 라돈 변환(Radon Transform) (ghebook.blogspot.com)

라돈 변환(Radon Transform)

 

IV. 디즈니 영화가 전 세계를 사로잡는 법

#미분방정식 #N-S방정식 #푸리에변환

 

수학 수업을 듣다보면 '미분 방정식'에 대한 얘기가 나온다. 이 책에서 미분 방정식에 대해 명쾌한 정의를 내려주고 있다. 

 

미분 방정식은 현재의 상태와 변화율의 관계를 연관 짓는 방정식이다. (p.132)

 

이 미분 방정식은 고등학교 교과 과정에서 배우지 않고 대학교에서 배우게 되는데, 거의 모든 학문에서 비중 있게 다루고 있다고 한다. 생각해보니 나는 학교 특성 상(...) 3학년 때 고급 수학을 배우는데 거기서 과연 미분방정식을 배우게 될 지.. 약간의 설렘과 많은 막막함을 느꼈다. 이렇게 책으로 읽거나 교양으로 배우는 수학은 정말 재미있는데 시험 볼 생각만 하면 머리가 아프다.. 

 

이어서 맥스웰 전자기 방정식, 슈뢰딩거 파동 방정식, 블랙숄즈 방정식, 감염확산 SIR 방정식, 나비에-스트로크 유동 방정식 등 여러 미분 방정식의 의미와 식을 간단히 서술했다. 이 단원은 N-S 방정식이라고도 불리는 나비에-스트로크 유동 방정식을 중점으로 한다.

 

N-S 방정식은 미국의 클레이수학연구소에서 밀레니엄 7대 난제로 발표한 것 중 하나이다. (p.s. 상금으로 100달러를 걸었다고 했는데 세계 7대 난제를 풀어낸 것 치고 너무 상금이 적지 않나?) 아직까지 해결되지 않았는데 그럼에도 불구하고 폭 넓게 응용되고 있다고 한다. 그 응용분야 중 하나가 바로 '영화'다. 나비에 스트로크 '유동' 방정식이라는 이름에서도 알 수 있듯이 전산유체역학에서 사용되는데, 전산유체역학 자체가 N-S 방정식을 컴퓨터로 수치해석하는 학문이라고 한다.(p.141) 

 

컴퓨터 그래픽의 발전 여부는 N-S 방정식을 얼마나 정교하고 정확하게 계산하는가에 달려있다. (p.147) 디즈니 영화에서 보는 사실적인 그래픽이 사실은 전부 수학이었다니.. 아주 특수한 몇 개의 학문을 빼면 어떤 학문으로 가든 수학은 빼놓을 수 없는 것 같다. 수학 실력을 차치하고서도 일단 수학에 대해 거부감이 없다는 것에 감사함을 느꼈다. 

 

V. 미적분의 예측하는 힘

#경제학 #근사계산법

 

사실 가장 인상 깊게 읽은 단원이어서 독후감을 이것부터 먼저 쓴 터라 좀 두서 없다. 최근 경제학의 중요성을 실감하고 있어서 더 집중해서 읽었다.

 

가장 먼저, 한계효용을 물리학적으로 엔트로피 개념을 써서 설명할 수 있다는 것이 인상 깊었다. 엔트로피는 일종의 '무질서도'로 자연과 세계는 엔트로피, 즉 무질서도가 증가하는 방향으로 나아간다...고 알고 있는데 이런 엔트로피를 단순한 열역학에서 벗어나 경제학, 금전 쪽으로 적용할 수 있다는 사실이 놀라웠다.

 

엔트로피는 저온의 물체에서 많이 증가하고 고은의 물체에서는 적게 증가한다는 특성이 있다. 저자는 이를 코로나19 지원금의 효용성과 연계지어 설명한다. 한계효용을 극대화하기 위해선 취약계층(ex 저소득층)에 지원금을 집중하는 것이 맞다고 했는데, 이를 엔트로피와 연계지어 설명할 줄은 정말 상상도 못했다. 이부분을 읽으면서 특히 EBS 위대한 수업에서 피터 싱어가 말했던 '효율적 이타주의'가 떠오르기도 했다. 그때 강의에서 피터 싱어가.. 같은 돈이라도 극빈곤층에게 원조할 때와, 미국의 빈곤층에게 원조할 때의 효율 차이가 다르다고 했었는데 마치 한계효용과 똑같지 않은가? 생각해보면 한계효용-평균효용은 가성비와도 관련이 있으니.. 당연할 수도 있겠더라. 

 

열량이 같은데도 물체가 차가울수록(온도가 낮을수록) 엔트로피가 크게 증가하는 것은 마치 똑같은 지원금을 받더라도 재산이 적을수록 그 효용이 큰 것과 같다. (중략) 즉 가장 차가운 취약계층에 지원금을 집중하는 것이 전체적인 엔트로피의 증가, 즉 한계효용을 극대화할 수 있다는 말이다. (p.162)

 

그래서 이런 한계효용이 대체 미적분과 어떻게 연계되는가? 이에 대한 답변은 사실 이 단원 첫 장에 나온다. (엔트로피 부분이 너무 인상 깊어서 먼저 얘기함...) 가격을 가로축으로, 총 효용을 세로축으로 하는 좌표평면에서 그려지는 그래프의 접선 기울기가 바로 한계 효용이다. 즉 총 효용은 한계효용을 적분한 것이다. 

 

그러면서 저자는 미적분의 '예측하는 힘'으로 나아간다. 이에 대해 서술하기 전 작가가 통찰한 학문의 의미가 인상 깊었다.

 

모든 학문은 미래를 예측하기 위한 것이라 해도 과언이 아니다. 우리가 공부를 하는 이유도 자신의 전공 분야에서 앞으로 일어날 일을 예측하고, 필요한 경우 전문가로서 남들보다 먼저 사회에 경종을 울리기 위함이다. 역사학자는 과거의 일을 바탕으로 미래의 변화를 예측하고, 경제학자는 경제 모델을 세워 국가적 경제 전망을 내놓는다. 과학자는 자연을 관찰하면서 지구의 환경 변화를 예고하고, 공학자는 미래사회가 요구하는 제품을 내놓는다. (p.163)

 

모든 학문은 미래를 예측하기 위한 것이라고 해도 과언이 아니라는 저자의 단언이 좋았다. 과학과 수학, 경제학은 물론이거니와, 과거를 통찰하는 역사부터 존재를 탐구하는 철학까지 결국은 인류의 최적의 진보를 위해 존재한다. 묘하게 와닿는 문장이었다. 특히 입시공부를 하다보면... (최근에 유독 많이 들었던 생각이지만) 공부하기를 이렇게 싫어하는데 대학교를 가는 게 정말 맞는걸까 하는 자조적인 물음이 나온다. 그래도 이런 책을 읽으며 재미있어 하는 걸 보면 학문이 그나마 내 길인 것이 맞는 듯 하다.

 

본격적으로 미적분으로 미래를 예측하려면 함수를 연장하는 과정이 필요하다. 그러나 고등학교 교과과정에서 우리가 흔히 다뤘던 함수는 정말 아주 국소적으로 '특이'한 함수다. 세상은 망망대해고.. 아무튼, 이런 감성적인 건 옆으로 치워두고. 따라서 현실에서 적용하기 위해선 상승폭을 갱신하여 미래를 예측하는 전진법이 필요하다. 전진법 marching method은 마치 한쪽 방향으로 행진하는 것처럼 한 걸음 한 걸음 앞으로 나아가는 방법인데, 미분방정식을 푸는 중요한 해석방법 중 하나라고 한다.(p.167) I 단원에서 봤던 내용이 떠오르기도 했다. 극대와 극소를 제대로 찾지 못하면 계산을 통해 그 근사값을 추정해 나간다는 내용 말이다. 

 

또 은행 이자율과 관련하여 '근사계산법'이라는 것을 소개하고 있다. 근사계산법은 테일러 급수에 기초하고 있는데, 와.. 이게 이렇게 될 줄이야. 미적분 수행평가를 준비하며 테일러 급수를 조사한 적이 있었는데 아는 게 나와서 반가웠다. 당시 내가 조사했던 내용에 따르면, 테일러 급수는 초월함수 같은 미지 함수를 근사한 다항함수로 표현하는 방법이다. 수업시간에도 테일러 급수를 이용해 뭐 증명했던 것 같은데.. 지금 아이패드가 없어서 나중에 게시글에 추가하던가 해야겠다.

 

책에 적힌 바에 따르면, x에서 조금 떨어진 곳(Δx)에서의 함숫값 f(x+Δx)는 f(x)에 일차미분항과 고차미분항들을 합산하여 구할 수 있다. 그런데 여기서 Δx가 작으면 이차미분항 이하의 항들은 무시할 수 있고(왜?), 그러면 f(x+Δx) = f(x) + f'(x)Δx 라는 기본적인 미분 정의로 귀결된다.(p.177) 왜 Δx가 작으면 이차미분항 이하의 항들은 무시할 수 있는 지를 모르겠다.  

 

참고로 f(x+Δx) = f(x) + f'(x)Δx 가 기본적인 미분 정의로 귀결된다는 의미는.. 엡실론 델타 논법과 연계되는 듯 하다. 이 부분은 추가 탐구한 부분이라서 정확하진 않지만 내가 이해한 바로는 다음과 같다.

 

y의 변화량을 Δy라고 했을 때 Δy=f(x+Δx)-f(x)로 정의된다. 미분 dy/dx에 따라 Δy/Δx=f'(x)+ε 이다. (이때 ε는 상대오차(error)를 의미함) 이 식을 정리하면 다음과 같다. 

f(x+Δx) - f(x) = f'(x)Δx + εΔx,

f(x+Δx) = f(x) + f'(x)Δx + εΔx

이때 오차 ε는 Δx가 0에 근접할 때 빠르게 0에 수렴한다.

따라서 f(x+Δx) = f(x) + f'(x)Δx 이다. 

 

앞서 의문이 들었던 이차 미분항 이하의 항들을 무시할 수 있는 이유가 오차 ε가 0에 수렴하기 때문이 아닐까 하는 막연한 생각이 든다. 

 

(자세한 내용은 여기(하이퍼링크) 참고) 

출처 하이퍼링크

아무튼, 이를 이용하여 책에서는 1.03²을 구하고 있는데, 상당히 감동 받았다. 수학 교양서적에서 이렇게 쉬운 예시를 들어주는 게 오랜만이어서였을까.. 아무튼 이해할 수 있어서 좋았다. 그러면서 도전적인 사람은 (1.02)⁴, 10.5/1 등도 구해보라며 넌지시 제시했는데, 안 할 수가 없었다. (1.02)⁴를 구하는 방법은 다음과 같다.

 

f(x)=x⁴라는 함수를 먼저 생각하고, x=1, Δx=0.02 으로 설정한다. 

여기서 f(x)를 미분하면 f'(x)=4x³이므로 따라서 f(1.02) = (1.02)⁴ 는 근사계산법에 따라 다음과 같이 계산된다. 

f(1+0.03) ≈ f(1) + f'(1) · 0.02 = 1⁴ + 4·1³ · 0.02 = 1+0.08 = 1.08 

실제로 컴퓨터로 계산한 값은 1.08243216이다.

 

아마 = 으로 쓰지 않고 ≈ 으로 쓴 까닭은 상대오차 ε 때문이지 않을까 싶다. 아무튼 실제로 해봐도 잘 맞아떨어져서 좋았다. 이맛에 수학하지 ㅎ

 

이어서 미래에 대한 예측에서 빠질 수가 없는 '주식'에 대해 얘기한다. 그런데 주식은 입력변수와 결과 변수 그리고 인공신경망 구조에 따라 너무 다양한 주식 모델이 만들어지기 때문에 논리적으로 인과관계를 설명하기 어렵고 난해한 미분방정식을 사람이 매번 풀기도 어렵다. 이런 문제들 때문에 인공지능이 주가 예측을 비롯한 여러 분야에서 미분 방정식을 대신하여 강력한 미래 예측의 도구로 자리 잡고 있다고 한다. 아날로그를 좋아하고, 또 지금 몇 백년 전 수학을 배우고 있는 나로서는 조금 씁쓸하기도 했다. 언제 이걸 다 따라가서 인공지능을 공부하지? 싶은 막막함이 있다. 4차 산업혁명은 정말 인공지능이 맞나보다.. 지금 우리가 그 4차 산업 혁명의 중심에 서 있고.  

 

미적분방정식을 토대로 탄생한 인공지능이 우리 눈앞에서 미적분을 사라지게 만들고 있는 셈이다. (p.190)

 

미적분과 한계효용균등의 법칙을 얘기하고도 있는데, 앞서 말했듯이 사설 모의고사 비문학 지문으로 봤던거라 반가웠다. 그때 정말 머리 싸매면서 문제 풀어서 그렇게 좋은 추억은 남아있지 않지만.. 분량 상 이 내용은 생략했는데, 가독성 좋게 서술되어 있어서 관련 내용을 찾고 싶다면 이 책을 추천한다. 

 

그리고 이건 미적분과 관련된 내용은 아닌데 인상 깊었던 것..(포스트잇으로 인상 깊은 부분을 표시하고 이에 대해 독후감을 쓰려고 하니 독후감이 정말 왔다갔다 한다!) 과거 부자의 기준은 돈을 많이 모은 사람이었지만 현재는 다르다. 현금을 많이 '가지고' 있는 사람보다 현금 유동성이 좋은 사람을 부자로 여기게 되었다. 저량보다는 유량이 중요해지는 시대가 되었다는 말이 인상 깊었다. (p.175)

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3. 독후감을 마치며

 

사실 이렇게 긴 독후감을 쓰는게 나로서도 쉬운 일은 아니다. 일단 쓰는데만 1~2시간은 걸리니까.. 그래도 일종의 내 자부심이다. 그리고 무엇보다 수시로 입시를 하게 되면 생기부에 적은 책들을 전부 다시 읽어봐야할텐데 그 감당이 나지 않는다. 한 번에 읽고 끝내고 싶은 마음이 크다. 이렇게 속물적이어도 되나? 또 최근 독서를 너무 안해서 재활하는 용도로 쓰고 있는 것도 맞다. 옛날에 썼던 「수학이 필요한 순간」 독후감은 지금도 가끔 읽는다. 읽다보면 그때 당시 열정에 절로 박수를 보내게 되더라.

 

아무튼 오늘의 독후감 책 「미적분의 쓸모」는 정말 재밌게 읽어서 좋은 기억으로 남을 것 같다. 어쩌다보니 2021년 12월 31일에 읽게 되었는데 내년에는 이번년도 읽은 책보다 더 많은 책을 읽으라는 신의 뜻으로 알겠다.. ㅋㅋㅋ 교양 수학책을 찾는 사람들에게 추천하며 글을 마친다.